平行轴定理

设通过刚体质心的轴线为Z轴，刚体相对于这个轴线的转动惯量为Jc。如果有另一条轴线Z‘与通过质心的轴线Z平行，那么，刚体对通过Z轴的转动惯量为 J=Jc+md^2

式中m为刚体的质量，d为两平行轴之间的距离。

上述关系叫做转动惯量的平行轴定理。

方法一

刚体对任意轴的转动惯量，等于刚体对通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，再加上刚体质量与两轴之间距离平方的乘积，此为平行轴定理。关于此定理的验证，采用三线摆和刚体转动实验仪来验证。在这里利用复摆验证平行轴定理的方法。

一 实验方法及公式推导

一个围绕定轴摆动的刚体就是复摆，当摆动的振幅甚小时，其振动周期 T 为

式中J为复摆对以O 为轴转动时的转动惯量，m为复摆的质量，g为当地的重力加速度，h为摆的支点O到摆的质心G的距离。又设复摆对通过质心G平行O轴的轴转动时的转动惯量为JG，根据平行轴定理得:

而JG又可写成 JG= m k 2,k 就是复摆的回转半径，由此可将⑴式改成为

整理⑶式得：

当 h= h1 时，I1= JG + mh12，式中h1为支点O1到摆的质心G的距离，J1是以O1为轴时的转动惯量。同理有：

⑷- ⑸得：

上式反映出转轴位置对转动的影响，也是对平行轴定理的检验。在⑹式中令 y= T2h- T12h1，x = h2-h12，则⑹式变为

从测量可得出n组（x,y)值，用最小二乘法求出拟合直线y= a+ bx及相关系数r，若r接近于1，说明x与y二者线性相关，平行轴定理得到验证；或作T2h- T12h1对h2-h12图线，若到检验为一直线，平行轴定理亦得

方法二

测量举例

1）测量步骤

a. 测定重心G的位置SG

将复摆水平放在支架的刀刃上，利用杠杆原理寻找G点的位置

b. 量出各支点对应的h值

c. 测出复摆绕各支点摆动的周期T摆角小于（5°改变支点10次)

2）数据记录

各支点对应的 h 值及周期T见表1

3）数据处理

取 h1= 6 cm,T1= 1.51 s，根据测量数据可得出10组（x,y）值，见表2

根据最小二乘法求出参数 a,b，得出

a= 21×10-2 cm ·s 2,Sa = 18×1010-2 cm s 2

b= 0. 0411s 2 ·cm-1,Sb = 0. 0005 s 2 ·cm-1

r= 0. 999375

平行轴定理

在此实验中，误差的主要来源是偶然误差，所以只计算A类标准不确定度作为总的不确定度，略去B类不确定度。结果a,b 的不确定度为：

u(a) = 18×10-2 cm ·s 2

u (b) = 0. 0005 s 2 ·cm-1

最后结果为：

a= （21±18） ×10-2 cm ·s 2

b= 0. 0411±0. 0005 s 2 ·cm-1

r= 0. 999375

从最后结果可以看出，x 与 y 二者完全线性相关，平行轴定理得到验证