抛物线焦点弦公式

抛物线焦点弦公式

焦点弦公式2p/sina^2

证明：设抛物线为y^2=2px(p>0)，过焦点f(p/2，0)的弦直线方程为y=k(x-p/2)，直线与抛物线交于a（x1，y1)，b(x2，y2)

联立方程得k^2(x-p/2)^2=2px，整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0

所以x1+x2=p(k^2+2)/k^2

由抛物线定义，af=a到准线x=-p/2的距离=x1+p/2

bf=x2+p/2

所以ab=x1+x2+p=p(1+2/k^2+1)=2p(1+1/k^2)=2p(1+cos^2/sin^2a)=2p/sin^2a

扩展资料

抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（准线）。焦点并不在准线上。抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。抛物线的另一个描述是作为圆锥截面，由圆锥形表面和平行于锥形母线的平面的交点形成。第三个描述是代数。

垂直于准线并通过焦点的线（即通过中间分解抛物线的线）被称为“对称轴”。与对称轴相交的抛物线上的点被称为“顶点”，并且是抛物线最锋利弯曲的点。沿着对称轴测量的顶点和焦点之间的距离是“焦距”。 “直线”是抛物线的平行线，并通过焦点。

抛物线具有这样的性质，如果它们由反射光的材料制成，则平行于抛物线的对称轴行进并撞击其凹面的光被反射到其焦点，而不管抛物线在哪里发生反射。相反，从焦点处的点源产生的光被反射成平行（“准直”）光束，使抛物线平行于对称轴。

抛物线的焦点弦公式

几何领域的抛物线焦点弦弦长公式定义：如果一条倾斜角为α的直线过抛物线焦点F，并交抛物线于A。B两点，则AB的长度为2P/（sinα）2（即2P除以sinα的平方）推导过程：设两交点A（X1，Y1）B（X2，Y2）(y2-y1)/(x2-x1)=tanα|AB|=√[(y2-y1)^2+(x2-x1)^2]=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]设直线l为y=tanαx+b且过点（p/2，0)即直线为y=tanαx-ptanα/2联立得到tanα^2x^2-(tanα^2+2)px+p^2tanα^2/4=0那么(x2-x1)^2=(x2+x1)^2-4x1x2=((tanα^2+2)p/tanα^2)^2-4*(p^2tanα^2/4)/tanα^2=4p^2(tanα^2+1)/tanα^4那么|AB|=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]=2p(tanα^2+1)/tanα^2=2p/(sinα)2

抛物线焦点弦长公式3个，抛物线焦点弦长公式推导过程

1、公式2p/sina^2。

2、证明：设抛物线

3、为y^2=2px(p>0)，过焦点f(p/2，0)的弦直线方程

4、为y=k(x-p/2)，直线与抛物线交于a（x1，y1)，b(x2，y2)

5、联立方程得k^2(x-p/2)^2=2px，整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0。

6、所以，x1+x2=p(k^2+2)/k^2。

7、由抛物线定义，af=a到准线

8、x=-p/2的距离＝x1+p/2，bf=x2+p/2。

9、=x1+x2+p

10、=p(1+2/k^2+1)

11、=2p(1+1/k^2)

1、答：抛物线弦长公式如下：

2、在抛物线y?=2px中，弦长公式为d=p+x1+x2。

3、在抛物线y?=-2px中，d=p-(x1+x2)。

4、在抛物线x?=2py中，弦长公式为d=p+y1+y2。

5、在抛物线x?=-2py中，弦长公式为d=p-(y1+y2)。

6、在y?=2px中，过焦点直线交抛物线于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点，则AB弦长d=p+x1+x2，图形关于x轴对称，焦点为（p/2，0）。

7、在y?=-2px中，过焦点直线交抛物线于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点，则AB弦长：d=p-(x1+x2)，图形关于x轴对称，焦点为（-p/2，0）。

8、在抛物线x?=2py，过焦点直线交抛物线于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点，则AB弦长：d=p+y1+y2，焦点为（0，p/2）。

9、在抛物线x?=-2py，过焦点直线交抛物线于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点，则AB弦长：d=p-(y1+y2)，焦点为（0，-p/2）

1、已知抛物线y2=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的焦点弦；则|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin2H）{H为弦AB的倾斜角}

2、(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为椭圆的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=2a±2ex

3、(2)设直线：与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K2）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K2）

4、(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为双曲线的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=-2a±2ex

5、(2)设直线：与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K2）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K2）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}

6、(1)焦点弦：已知抛物线y2=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的焦点弦，则|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin2H）{H为弦AB的倾斜角}

7、(2)设直线：与抛物线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K2）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K2）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}

8、焦点弦是由两个在同一条直线上的 焦半径构成的。

9、焦点弦长就是这两个 焦半径长之和。

10、⑴过椭圆焦点F的直线交椭圆于A、B两点，记q=a^2/c-c，是焦准距， e是离心率。

11、令|FE|=m，|ED|=n，则m+n=|FD|。